Penyelesaian SPLTV dengan Metode Campuran

 

Kompetensi Dasar

3.3 Menyusun sistem persamaan linear tiga variabel dari masalah kontekstual

4.3 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan sistem persamaan linear tiga variabel

 Indikator Pencapaian Kompetensi

1.      Menjelaskan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel dengan metode campuran

2.      Menyelesaikan masalah kontekstual dengan menggunakan sistem persamaan linear tiga variabel dengan metode campuran

 Tujuan Pembelajaran

Setelah Ananda mempelajari materi ini di harapkan Ananda dapat :

v  Menjelaskan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel dengan metode campuran dengan benar

v  Menyelesaikan masalah kontekstual dengan menggunakan sistem persamaan linear tiga variabel dengan metode campuran dengan benar.

Penyelesaian SPLTV dengan Metode Campuran

Cara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel yang lebih mudah dan singkat yaitu dengan menggunakan metode campuran yaitu menggabungkan metode eliminasi dan metode substitusi. Dalam pelaksanaannya lebih baik dikerjakan dengan eliminasi terlebih dahulu, baru kemudian menggunakan substitusi. Namun terdapat beberapa jenis solusi dari SPLTV, yaitu solusi yang tunggal, solusi yang bantak (tak terhingga), dan tidak ada solusi. SPLTV yang tidak memiliki solusi akan mengarah pada hasil yang tidak konsisten, diakhiri dengan pernyataan seperti 0 = - 4 atau kontradiksi lainnya.

Marilah kita lihat contoh menyelesaikan SPLTV dengan menggunakan metode campuran.

1.      Mengeliminasi terlebih dahulu baru kemudian menggunakan metode substitusi.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel dibawah ini dengan menggunakan metode campuran.

Jadi, penyelesaiannya adalah (1, 2, 3) atau himpunan penyelesaiannya Hp = {1,2,3}

Mensubtitusi terlebih dahulu baru kemudian menggunakan metode eliminasi

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel di bawah ini dengan menggunakan metode gabungan.

x + 3y + 2z = 16

2x + 4y – 2z = 12

x + y + 4z = 20

·         Metode substitusi

Pertama, kita tentukan dulu persamaan yang paling sederhana. Dari ketiga persamaan yang ada, persamaan ketiga lebih sederhana. Dari persamaan ketiga, nyatakan variabel z sebagai fungsi y dan z sebagai berikut.

⇒ x + y + 4z = 20

⇒ x = 20 – y – 4z ............... Pers. (1)

Kemudian, subtitusikan persamaan (1) di atas ke dalam SPLTV pertama.

⇒ x + 3y + 2z = 16

⇒ (20 – y – 4z) + 3y + 2z = 16

⇒ 2y – 2z + 20 = 16

⇒ 2y – 2z = 16 – 20

⇒ 2y – 2z = –4

⇒ y – z = –2 ............... Pers. (2)

 

Lalu, subtitusikan persamaan (1) di atas ke dalam SPLTV kedua.

⇒ 2x + 4y – 2z = 12

⇒ 2(20 – y – 4z) + 4y – 2z = 12

⇒ 40 – 2y – 8z + 4y – 2z = 12

⇒ 2y – 10z + 40 = 12

⇒ 2y – 10z = 12 – 40

⇒ 2y – 10z = –28  ............... Pers. (3)

Dari persamaan (2) dan persamaan (3) kita peroleh SPLDV y dan z berikut.

y – z = –2

2y – 10z = –28 

•   Metode eliminasi

Untuk mengeliminasi y, maka kita kalikan SPLDV pertama dengan 2 agar koefisien y kedua persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan kedua persamaan sehingga kita peroleh nilai z sebagai berikut.

y – z	=	–2	|× 2|	→	2y – 2z	=	–4
2y – 10z	=	–28	|× 1|	→	2y – 10z	=	–28	−
					8z	=	24
					Z	=	3

 

Untuk mengeliminasi z, maka kalikan SPLDV pertama dengan 10 agar koefisien z kedua persamaan sama. Selanjutnya kita kurangkan kedua persamaan sehingga diperoleh nilai y sebagai berikut.

y – z	=	–2	|× 10|	→	10y – 10z	=	–20
2y -10z	=	–28	|× 1|	→	2y – 10z	=	–28	−
					8y	=	8
					y	=	1

Sampai tahap ini, kita peroleh nilai y = 1 dan z = 3. Langkah terakhir yaitu menentukan nilai x. Cara menentukan nilai x adalah dengan memasukkan nilai y dan z tersebut ke dalam salah satu SPLTV, misalnya x + 3y + 2z = 16 sehingga kita peroleh:

⇒ x + 3y + 2z = 16

⇒ x + 3(1) + 2(3) = 16

⇒ x + 3 + 6 = 16

⇒ x + 9 = 16

⇒ x = 16 – 9

⇒ x = 7

 

Dengan demikian kita peroleh nilai x = 7, y = 1 dan z = 3 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV di atas adalah {(7, 1, 3)}.